Ahıska’dan göç eden bir ailenin çocuğu olarak 1949 yılında Kars’ın Selim ilçesinde dünyaya gelen Yücel Çelikbilek, 1956 yılında ailesiyle Beykoz’a göç etti. Gümüşsuyu Fatin Hoca İlkokulu, Beykoz Ortaokulu, Kadıköy Ticaret Lisesi, İstanbul İktisadi ve Ticari Bilimler Akademisini bitirdi. İstanbul Üniversitesi İktisat Fakültesinde mahalli idareler üzerine yüksek lisans çalışması yaptı. Refah Partisi İstanbul İl Başkanlığının açtığı Mahalli İdareler Akademisini bitirdi.
1985 yılında Refah Partisi Fatih İlçe Başkan yardımcılığı görevinde bulunan Çelikbilek, 1989 yerel seçimlerinde Refah Partisinden Beykoz Belediye Başkan Adayı gösterildi. 1989 yılından itibaren beş yıl boyunca Refah Partisi Beykoz İlçe Başkanlığı görevini yürüttü. 1991 genel seçimlerinde İstanbul 4. bölgeden Refah Partisi milletvekili adayı gösterildi. 1994 yerel seçimlerinde Beykoz Belediye Başkan Adayı gösterilen Çelikbilek, seçimi kazanarak Beykoz Belediye Başkanı oldu. YSK tarafından seçimlerin iptal edilmesi üzerine 10 Temmuz’da tekrarlanan seçimleri kazanarak beş yıl Beykoz’a hizmet etti. Beykoz’un her noktasına kalıcı hizmetler yaptı ve borçsuz bir belediye devretti.
1999 yılından itibaren 10 yıl boyunca İ.B.B. Başkan Danışmanı olarak görev yaptı. Yerel yönetimler koordinasyon merkezinin kurulmasına öncülük etti. Erdemliler hareketiyle başlayan AK Parti’nin kuruluş sürecinde bulundu, AK Parti İstanbul İl Teşkilatının kurucuları arasında yer aldı. Mali ve İdari İşlerden sorumlu İl Başkan Yardımcılığı görevinde bulundu. 2009 yerel seçimlerinde aday adayı olmamasına rağmen genel merkez tarafından AK Parti Beykoz Belediye Başkan Adayı gösterildi ve seçimleri kazanarak belediye başkanı oldu. 2014 yerel seçimlerini büyük bir farkla kazanıp üçüncü defa belediye başkanı seçilerek Beykoz tarihine adını yazdırdı. 2019 yılında başkanlık görevini devrederek aktif siyasi yaşamını sonlandırdı.
Yücel Çelikbilek 1985 yılından vefatına kadar İlim Yayma Cemiyeti Yönetim Kurulu Üyeliği, 2002-2004 yılları arasında İlim Yayma Cemiyeti Genel Başkanlığı görevinde bulundu. 2006 yılından vefatına dek İlim Yayma Vakfı Mütevelli Heyet Başkanlığını yürüttü.
Ayşe Çelikbilek ile evli, dokuz çocuk, 13 torun sahibi olan Yücel Çelikbilek, 19 Mart 2020 tarihinde vefat etti.
